Wie oft man ein Deck mischen muss, bis es seine Vergangenheit vergisst
Vom Horoskop zur Markow-Kette: Steht bei der Geburt schon alles fest?
Viele halten ein Horoskop in der Hand und fragen: Steht bei der Geburt schon alles fest? Ich möchte zuerst etwas Kleineres fragen: Wie oft muss man ein Deck mischen, bis es seine ursprüngliche Reihenfolge vergessen hat?
Ein Horoskop erstellen zu lassen, zieht einen schnell in den Bann. Geburtsdatum und Uhrzeit eintragen, und schon ist das Bild da: zwölf Häuser, ein Kreis aus Planeten. In China rechnet man es anders, mit vier Säulen für Jahr, Monat, Tag und Stunde, zusammen acht Schriftzeichen.
Vor so einem Bild kommt vielen derselbe Gedanke: Das hier stand schon in der Minute meiner Geburt fest. Stand dann auch alles Spätere längst fest?
Diese Frage ist älter als jedes Horoskop. Die Esoterik hat sie beantwortet, die Wissenschaft auch, und die Antwort der Wissenschaft lässt manchmal noch weniger Spielraum. Ich möchte beide Antworten in dieser Ausgabe nebeneinanderlegen. Am Ende läuft es auf etwas sehr Kleines hinaus: aufs Mischen.
In den zehn Kapiteln dieses Textes verstecken sich neun Bilder vom Rad des Schicksals. Wenn du auf eines stößt, schau ruhig noch einmal auf die Karte oben.
Über zweitausend Menschen, kurz nacheinander geboren
Motiv I: Das Rad — Ein großer Kreis mit acht Speichen, mitten auf der Karte. Alles andere ordnet sich um ihn herum.Wenn ein Horoskop wirklich über einen Menschen entschiede, ließe sich das prüfen: Man sucht Menschen, die unmittelbar nacheinander geboren wurden, und schaut, ob sich ihre Leben ähneln.
Genau das hat jemand getan. Geoffrey Dean und Ivan Kelly veröffentlichten 2003 eine Auswertung, und zwar anhand einer Langzeiterhebung, die mit Astrologie ursprünglich nichts zu tun hatte: 2.101 Menschen, geboren vom 3. bis 9. März 1958 in London. Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Geburten lagen im Schnitt nur 4,8 Minuten. Diese Kinder wurden mit 11, 16 und 23 Jahren untersucht, und die beiden wählten daraus 110 Merkmale aus, darunter Intelligenz, Persönlichkeit, Beruf und Ehe.1
Das Ergebnis ist klar: Zwei Menschen, die kurz nacheinander geboren wurden, sind einander deshalb nicht ähnlicher.
Diese Studie schließt nur eine Art von Vorherbestimmung aus, die aus dem Horoskop. Dass das Leben frei sei, sagt sie nicht. Die wirklich hartnäckige Form von „Es steht fest“ kommt auch gar nicht von den Sternen. Sie kommt aus der Wissenschaft selbst.
Der Dämon und der Faule
Motiv II: Die Sphinx — Die Sphinx liegt oben auf dem Rad, unter den Pranken ein quer liegendes Schwert. Das Rad läuft unter ihr hindurch, und sie rührt sich nicht.1814 entwarf der französische Mathematiker Laplace in einem kleinen Buch über die Wahrscheinlichkeit eine Gedankenfigur: eine Intelligenz, die in diesem Augenblick Ort und Kräfte jedes Teilchens im Universum kennt und das alles auch durchrechnen kann. Für sie gäbe es nichts Ungewisses. Die Zukunft läge ihr so offen vor Augen wie die Vergangenheit.
Später nannte man diese Intelligenz den Laplace’schen Dämon.
Das ist der Determinismus. Ihm zufolge stand im Moment deiner Geburt, ja schon beim Beginn des Universums, alles Weitere bereits fest.
Determinismus und Fatalismus sind aber nicht dasselbe.
Aus der Antike ist ein berühmtes Argument überliefert, das „faule Argument“, festgehalten von Cicero in seiner Schrift Über das Schicksal. Es geht so: Ist dir bestimmt, gesund zu werden, dann kommt die Genesung, ob du den Arzt rufst oder nicht. Ist dir bestimmt, krank zu bleiben, hilft auch der Arzt nicht. Wozu also den Arzt rufen?
Der Stoiker Chrysipp antwortete: Den Arzt rufen und gesund werden gehören zusammen. Ist die Genesung bestimmt, dann ist es auch der Arztbesuch. Was du tust, ist selbst ein Glied dieser Kette von Ursachen.
Der Unterschied liegt darin, ob du selbst mitzählst.
Was an dem Satz „Bei der Geburt steht alles fest“ wirklich entmutigt, ist die erste Fassung: Egal, was du tust, das Ende wartet schon. Die zweite Fassung mag sogar stimmen, und trotzdem führt der Weg zu diesem Ende durch dich hindurch.
Eines haben beide gemeinsam: Sie lassen der Zukunft nur einen einzigen Weg. Vor gut hundert Jahren kam in der Mathematik ein drittes Modell auf. Seine Herkunft ist noch interessanter als das Modell selbst.
Ein Streit um den freien Willen
Motiv III: Die Bücher — Vier geflügelte Wesen hüten je ein aufgeschlagenes Buch. Der Engel oben links senkt den Kopf und liest.Anfang des 20. Jahrhunderts gerieten in Russland zwei Mathematiker aneinander.
Der eine war Pawel Nekrassow in Moskau. Er hatte ein Priesterseminar besucht und stand auf der Seite von Kirche und Zar. Statistiker hatten damals längst bemerkt, wie erstaunlich stabil die jährlichen Zahlen von Eheschließungen und Verbrechen in einer Gesellschaft sind. 1902 bot Nekrassow dafür eine Erklärung an. Zumindest so, wie Markow ihn las, meinte er Folgendes: Durchschnitte sind stabil, weil die einzelnen Ereignisse voneinander unabhängig sind. Wenn menschliches Handeln solche stabilen Durchschnitte ergibt, dann entscheiden Menschen also unabhängig. Anders gesagt: Er wollte aus einer statistischen Regelmäßigkeit einen mathematischen Beweis für den freien Willen gewinnen.
Der andere war Andrei Markow in Sankt Petersburg, bekannt für sein hitziges Temperament, und gläubig war er auch nicht.2 Er hielt diese Schlussfolgerung schon mathematisch für falsch. 1906 schrieb er eine Arbeit, die zeigte, dass auch Ereignisse, die nicht unabhängig sind, stabile Durchschnitte haben können. Dafür schuf er ein neues mathematisches Objekt: eine Folge von Ereignissen, von denen jedes vom vorherigen abhängt.
Das ist die spätere Markow-Kette.
Dieses Werkzeug, das heute überall im Einsatz ist, entstand in einem Streit um den freien Willen.
Eines muss ich klarstellen: Markow hat nicht bewiesen, dass es keinen freien Willen gibt. Er hat nur bewiesen, dass Nekrassows Weg nicht trägt.
Im Januar 1913 tat er dann etwas, das viel Geduld verlangte. Er schrieb die ersten 20.000 russischen Buchstaben von Puschkins Eugen Onegin ab, ließ Satzzeichen und Leerzeichen weg, trug alles in zweihundert Raster zu je zehn mal zehn Feldern ein und zählte von Hand.
Von den 20.000 Buchstaben waren 8.638 Vokale, das sind 43,2 %. Wären die Buchstaben voneinander unabhängig, dann müsste der nächste mit einer Chance von etwa 43,2 % ein Vokal sein, ganz gleich, was davor steht. Markow zählte etwas anderes: Nach einem Vokal folgte nur in 12,8 % der Fälle wieder ein Vokal, nach einem Konsonanten in 66,3 %.
Das Morgen kennt nur das Heute
Motiv IV: Die Schlange — Unter der Wolke des Engels windet sich eine Schlange hervor, den Kopf nach unten, und gleitet an der linken Seite des Rads hinab.Die Regel der Markow-Kette passt in einen Satz: Wohin der nächste Schritt führt, hängt nur davon ab, auf welchem Feld du gerade stehst, nicht davon, wie du dorthin gekommen bist.
Und sie nennt dir auch kein sicheres Ziel. Sie gibt dir nur eine Tabelle: wie groß von diesem Feld aus die Chance ist, auf jenes zu kommen.
Die drei Positionen nebeneinander:
- Laplace: Die Zukunft hat nur einen Weg, du kannst ihn bloß nicht ausrechnen.
- Das faule Argument: Die Zukunft hat nur einen Weg, und er hat nichts mit dir zu tun.
- Das Modell der Markow-Kette: Die Zukunft hat viele Wege, jeder hat eine Wahrscheinlichkeit, und diese Wahrscheinlichkeiten hängen nur davon ab, wo du jetzt stehst.
Markow selbst hatte nicht vor, damit über das Leben zu sprechen. Diese Frage leihen wir uns nur bei ihm aus.
„Nur das Jetzt zählt“ hört sich leicht an wie „Die Vergangenheit ist egal“. Gemeint ist das Gegenteil. Auf dieses Feld bist du ja nur durch jeden einzelnen Schritt davor gekommen. Die Vergangenheit ist nicht verschwunden, sie liegt vollständig in dem Feld von heute. Sie kann nur nicht am Heute vorbei nach dem Morgen greifen.
Natürlich ist ein Mensch keine so einfache Kette. Ein echter Text auch nicht, der Einfluss eines Buchstabens reicht weiter als ein Feld. Es ist nur ein Modell. Aber ein gutes Modell macht aus einer Frage, die sich nicht fassen lässt, eine Frage, die sich beantworten lässt.
„Steht bei der Geburt schon alles fest?“ Das lässt sich nun anders fragen: Wenn die Kette lange genug gelaufen ist, erinnert sie sich dann noch an ihren Anfang?
Achtmal
Motiv V: Die Buchstaben — Auf dem Radkranz stehen die vier Buchstaben T, A, R, O. Von T aus gelesen ergibt das TARO, von R aus ROTA, lateinisch für „Rad“.Wer Karten liest, hatte eine solche Kette schon selbst in der Hand: das Mischen.
Die Reihenfolge eines Decks in diesem Moment ist das Feld, auf dem es gerade steht. Einmal mischen, und es rückt auf das nächste Feld. Welches das ist, hängt nur von der jetzigen Reihenfolge ab und davon, wie diesmal gemischt wird, nicht von der Reihenfolge davor. Bei einem frisch ausgepackten Deck ist der Anfang die Reihenfolge ab Werk. Und gut gemischt heißt nichts anderes, als dass die Kette diesen Anfang vergessen hat.
Wie oft muss man also mischen?
1992 lieferten Dave Bayer und Persi Diaconis eine Antwort, die sich genau berechnen lässt. Sie untersuchten das Riffeln, im Englischen Riffle Shuffle: Man teilt das Deck in zwei Hälften und lässt die Karten beider Seiten wie die Zähne eines Reißverschlusses ineinanderfallen. Für die 52 Karten eines Pokerdecks ergab das eine berühmte Zahl: siebenmal.
Das Besondere an diesem Ergebnis ist, dass es nicht allmählich besser wird. Mit dem Maßstab der beiden ist das Deck nach den ersten vier Durchgängen noch fast genauso weit vom echten Zufall entfernt wie zu Beginn. Dann bricht der Abstand innerhalb weniger Durchgänge plötzlich ein.
Die Formel schreibt nirgends vor, dass ein Deck 52 Karten haben muss. Also habe ich sie für die 78 Karten des Tarots durchgerechnet.
Nach fünf Durchgängen liegt der Abstand noch bei 0,9996, nach diesem Maßstab fast so, als wäre gar nicht gemischt worden. Beim achten fällt er auf 0,31. Sechsundzwanzig Karten mehr kosten also nur einen Durchgang mehr.
Tarotkarten sind allerdings lang und groß, und viele riffeln sie nicht, sondern schieben sie in kleinen Päckchen von einer Hand in die andere, das sogenannte Überhandmischen. Das geht viel langsamer: Mathematisch ist bewiesen, dass die nötige Zahl grob proportional zum Quadrat der Kartenzahl ist, multipliziert mit einem Logarithmus. Für 52 Karten reichen die kursierenden Schätzungen von gut zweitausend bis über zehntausend Mal. Eine genaue Zahl hat noch niemand errechnet.3
Wenn du das Deck also nur ein paarmal so nebenbei durchmischst, steckt ein großer Teil der Reihenfolge vom letzten Lesen noch im Deck.
Das Deck erinnert sich noch.
Wie hier gemischt wird
Motiv VI: Die Zeichen — Auf vier Speichen sitzen vier kleine Zeichen, gewöhnlich als Quecksilber, Schwefel, Wasser und Salz gedeutet. Das liest sich wie ein Rezept.Wenn ich schon dabei bin, sollte ich auch offenlegen, wie diese Website selbst die Karten austeilt. Es gibt mehr als ein Verfahren.
Das normale Ziehen nach der Anmeldung läuft über einen Algorithmus namens Fisher–Yates: Von der letzten Karte an tauscht jede einmal den Platz mit einer beliebigen Karte davor (oder mit sich selbst). Sieben- oder achtmal mischen ist hier nicht nötig. Ein Durchlauf genügt, und sofern die Zufallszahlen wirklich zufällig sind, ist jede Reihenfolge der 78 Karten gleich wahrscheinlich. Der Anfang ist schon nach dem ersten Durchlauf vollständig vergessen.
Das Problem steckt in diesem „sofern“.
Die Zufallszahlen kommen hier aus Math.random des Browsers, und das ist Pseudozufall: eine feste Formel, die Schritt für Schritt Zahlen ausrechnet, die nur ungeordnet aussehen. In Chrome zum Beispiel ist der innere Zustand nur 128 Bit groß. Das hat zwei Folgen.
Erstens: Von einem gegebenen Zustand aus steht jede weitere Zahl schon fest. Säße der Laplace’sche Dämon in deinem Browser, kennte er die gesamte Reihenfolge dieses Decks.
Zweitens: 128 Bit ergeben höchstens etwa 3,4 × 10³⁸ Zustände, die 78 Karten aber haben etwa 1,1 × 10¹¹⁵ mögliche Reihenfolgen. Die Reihenfolgen, die hier überhaupt entstehen können, sind also ein kaum noch benennbarer Bruchteil aller möglichen. (Die gut ein Dutzend Karten, die du auf einmal ziehst, haben weniger Kombinationen und stoßen an diese Grenze nicht.)
Die Karten tippst du aber selbst an. Sie liegen verdeckt ausgebreitet, die Reihenfolge hat der Algorithmus festgelegt, doch wo dein Finger landet, weiß er vorher nicht. Wählst du „Schritte überspringen, direkt zur Deutung“, übernimmt der Algorithmus auch diesen Finger.
Das erste Ziehen, wenn du neu bist und noch kein Konto hast, läuft anders. Der Server zieht die Karten vorab, mit Zufallszahlen in kryptografischer Qualität. Welche Karte dein Finger auch berührt, sie tauscht den Platz mit der vorab gezogenen. Dein Finger entscheidet hier über das Wann, nicht über das Welche.
Die Tageskarte wird gar nicht gemischt. Dein Konto (oder, ohne Anmeldung, eine anonyme Kennung im Browser) und das heutige Datum gehen in eine Hashfunktion, daraus ergibt sich eine Zahl, und die steht für eine Karte. Dieselbe Person, derselbe Tag: So oft du die Seite auch öffnest, es bleibt dieselbe Karte. Sie steht fest, sobald der Tag beginnt.
Ich schreibe das auf, weil ich nicht möchte, dass du glaubst, irgendetwas würde diese Karte für dich aussuchen. Sie kommt zu dir durch einen Algorithmus, manchmal noch durch einen Finger. Niemand hat sie dir zugedacht.
Weiter unten schreibe ich, warum ich sie trotzdem lesenswert finde.
Wenn der Anfang zählt
Motiv VII: Die Gestalt mit dem Schakalkopf — Eine menschliche Gestalt mit Schakalkopf drückt sich rechts ans Rad, beide Hände am Radkranz.Die Kette des Mischens vergisst am Ende alles. Aber nicht jede Kette tut das.
Hier sind drei Ketten, die ich durchgerechnet habe, jede mit acht Feldern. Jede Spalte ist ein Schritt. Je heller ein Feld, desto mehr Menschen sind dort angekommen.
Die erste Kette ist der Determinismus mit dem einen einzigen Weg. Sie klingt am meisten nach Schicksal. Und doch ist sie erstaunlich zerbrechlich: Es genügt ein winziges bisschen Zufall in jedem Schritt, und sie beginnt zu vergessen.
Die dritte Kette ist die, um die man sich bei „von Geburt an“ wirklich sorgen muss. Mit höherer Bestimmung hat sie nichts zu tun. Es gibt nur Felder, aus denen man nicht mehr herauskommt, und welchem du näher bist, hängt davon ab, wo du angefangen hast.
Das ist nicht nur ein Bild. In der Wirtschaftswissenschaft untersucht man seit Prais’ Aufsatz von 1955 mit solchen Übergangstabellen, wie sich Menschen von einer Generation zur nächsten bewegen.
2014 berechneten Raj Chetty und sein Team aus den Steuerdaten von fast zehn Millionen amerikanischen Kindern der Jahrgänge 1980–82 die folgende Tabelle. Die Einkommen sind nach Personenzahl in fünf gleich große Gruppen eingeteilt. Hätte das Einkommen der Eltern keinerlei Einfluss auf die Kinder, stünde in jedem Feld 20 %.
Das ist weit weg von 20 %. Wenn du mich also fragst, ob bei der Geburt schon alles feststeht, lautet die ehrliche Antwort: Es steht nicht fest, aber gleich ist es auch keineswegs. Und diese Ungleichheit steht nicht im Horoskop. Sie steht im Steuerbescheid.
Diese Tabelle sagt aber noch zwei weitere Dinge.
Erstens: Sie ist keine Naturkonstante. Für denselben Weg vom untersten ins oberste Fünftel nennt die Arbeit, teils berechnet, teils zitiert, diese Zahlen: Dänemark 11,7 %, Kanada 13,4 %, in den USA Charlotte 4,4 % und San Jose 12,9 % (die Messgrundlagen sind nicht ganz einheitlich). Woher diese Unterschiede kommen, klärt die Arbeit nicht. Aber eine Tabelle, die von Ort zu Ort anders aussieht, steht nicht in den Himmel geschrieben.
Zweitens: Sie spricht über Gruppen, nicht über dich. 7,5 % sind für kein einziges Kind ein Urteil.
Rechnet man mit dieser Tabelle Generation um Generation weiter, beträgt der Abstand zwischen den Nachkommen der ärmsten und der reichsten Familien nach drei Generationen, mit dem Maßstab von vorhin, nur noch etwa 4 %. Das klingt schön, aber ich traue dem nicht recht: Es setzt voraus, dass die Tabelle sich nie ändert und dass jede Generation nur von der vorherigen beeinflusst wird. Gregory Clark hat den sozialen Status anhand von Familiennamen über Jahrhunderte verfolgt und eine viel langsamere Mobilität gefunden, auch wenn seine Schlüsse selbst umstritten sind. Wirkliche Menschen erinnern sich an mehr, als es eine Kette tut, die nur ein Feld zurückschaut.
Das Rad, das sich immer weiter dreht
Motiv VIII: Die Nabe — Acht Speichen laufen in einem Punkt zusammen. Wenn das Rad sich dreht, bleibt nur dieser Punkt fast still.Jetzt können wir zu dieser Karte zurückkehren.
Das Rad des Schicksals wird oft so gelesen: Mal ist man oben, mal unten. Was aufsteigt, kommt wieder herunter, und was unten liegt, kommt wieder herauf. Wäre es aber wirklich ein streng laufendes Rad, dann wäre es die erste Kette aus dem Bild von eben: Wann man auf welchem Feld steht, stünde vom ersten Schritt an fest. Das ist der Determinismus mit dem einen Weg.
Zum Glück gibt es auf dieser Welt kein so passgenaues Rad. Spiel gibt es immer: Jemand bleibt kurz stehen, jemand geht ein Feld zurück. Jedes bisschen Spiel lässt den Anfang ein wenig mehr verblassen.
In Waites Erläuterungen zu seinem eigenen Deck von 1909 steht ein Satz, den ich sehr mag. Diese Karte stehe für „die ewige Bewegung eines fließenden Universums und den Fluss des menschlichen Lebens“, schreibt er, und dann: „Die Sphinx ist das Gleichgewicht darin.“
Das schrieb er um 1910. Markow hatte seine Kette da schon erfunden und sollte ein paar Jahre später noch Buchstaben zählen. Beides hat nichts miteinander zu tun. Wenn ich den Satz heute lese, denke ich aber an einen Begriff aus der Theorie der Markow-Ketten: die stationäre Verteilung. Ist eine Kette, die vergisst, lange genug gelaufen, dann bleibt im Einzelnen alles ununterbrochen in Bewegung, aber die Anteile im Ganzen ändern sich nicht mehr. Das Rad dreht sich immer weiter, und etwas daran bewegt sich nicht.
Das ist natürlich meine Assoziation, nicht Waites Absicht.
Diese Karte: Das Rad des Schicksals
Motiv IX: Stier und Löwe — Unten liegen Stier und Löwe, jeder auf seiner Wolke, ein aufgeschlagenes Buch vor sich.Alles, was du gelesen hast, steht auf dieser Karte
- Das RadKapitel 1
- Die SphinxKapitel 2
- Die BücherKapitel 3
- Die SchlangeKapitel 4
- Die BuchstabenKapitel 5
- Die ZeichenKapitel 6
- Die Gestalt mit dem SchakalkopfKapitel 7
- Die NabeKapitel 8
- Stier und LöweKapitel 9
Wenn ich diesem Text eine Karte zuordnen müsste, käme nur das Rad des Schicksals infrage. In den Großen Arkana trägt es die Nummer 10.
Fast alles auf dieser Karte findet sich in diesem Text wieder. Das Rad ist das Zustandsdiagramm einer Kette. Die Schlange gleitet hinab, die Gestalt mit dem Schakalkopf steigt hinauf, und beide gehen nur von einem Feld zum nächsten. Die Buchstaben auf dem Radkranz werden, an anderer Stelle begonnen, zu einem anderen Wort, genau wie die Reihenfolge eines Decks. Die Sphinx liegt oben, schaut zu, wie sich alles dreht, und bewegt sich selbst nicht, wie jene Intelligenz, die alles weiß, und wie jene Anteile, die sich nicht mehr ändern. Die vier Wesen hüten je ein aufgeschlagenes Buch.
Manche lesen diese Karte als Glück, manche als Bestimmung. Ich lese sie lieber als Landkarte: Sie sagt nicht, wohin dein nächster Schritt führt. Beim Lesen kannst du dir überlegen, auf welchem Feld du gerade stehst.
Wenn du weitere Bedeutungen dieser Karte nachlesen möchtest, öffne die Seite Das Rad des Schicksals.
Esoterik oder Wissenschaft
Ist das hier also Esoterik oder Wissenschaft?
Meine Antwort: Das Mischen ist Wissenschaft, das Kartenlesen ist Esoterik.
Da möchte ich nicht drumherumreden. Bis heute gibt es keine verlässlichen Belege dafür, dass eine Karte oder ein Horoskop dir sagen kann, was in Zukunft geschieht. Lunarcana ist ein Manuskript zum Lesen und Nachdenken. Es dient der Unterhaltung und der Selbstreflexion, und es sagt dir nicht dein Schicksal.
Warum dann überhaupt Karten ziehen?
Ich glaube, weil der Zufall einen Vorzug hat, von dem selten die Rede ist: Er schmeichelt dir nicht. Wenn du selbst auswählst, landest du immer bei dem, worüber du ohnehin schon nachgedacht hast. Eine Karte, die dir zufällig begegnet, zwingt dich, deine Lage einmal aus einem Winkel anzusehen, auf den du nicht vorbereitet warst. Ob sie „getroffen“ hat, ist nicht wichtig. Wichtig ist, was dir beim Lesen einfällt.
Und ob bei der Geburt schon alles feststeht? Für das Feststehen aus dem Horoskop habe ich keine Belege gefunden. Die Ungleichheit aus dem Steuerbescheid ist real, und sie ist nicht überall gleich groß. Und selbst wenn der härteste Determinismus stimmt, führt der Weg immer noch durch dich hindurch.
Die Vergangenheit verschwindet nicht. Sie kann nur durch das Heute weiterwirken.
Das Mischen ist Wissenschaft, das Kartenlesen ist Esoterik, und dazwischen stehst du.
Wenn du das nächste Mal mischst, misch vielleicht ein paarmal mehr, damit das Deck das vorige Mal vergisst.
Du selbst bist kein Deck. Du kannst dich nicht achtmal mischen und neu anfangen. Aber du bist auch nicht nur ein Deck. Vor dem nächsten Schritt kannst du immer noch nachsehen, auf welchem Feld du gerade stehst.
Die Illustrationen im Stil alter Stiche sind mit Unterstützung von KI entstanden und keine historischen Bilder. Die Diagramme wurden aus den genannten Formeln und öffentlichen Daten berechnet oder zusammengestellt.