何回シャッフルすれば、カードは過去を忘れるのか
ホロスコープからマルコフ連鎖へ。人は生まれたときに、もう決まっているのか
一枚のチャートを手に、多くの人がたずねます。人は生まれたときに、もう決まっているのでしょうか。 私はその前に、もう少し小さなことをたずねてみたいと思います。カードは何回シャッフルすれば、もとの順番を忘れるのでしょうか。
チャートを出すのは、つい夢中になってしまう作業です。生まれた年月日と時刻を入れると、一枚の図ができあがる。十二のハウスと、ぐるりと並ぶ惑星。あるいは四柱推命なら、年・月・日・時の四つの柱と、八つの文字。
この図を見ていると、多くの人の頭に同じ考えが浮かびます。この図は、私が生まれたその一分に決まった。だとしたら、そのあとの私のすべても、とうに決まっていたのではないか。
この問いは、どんなチャートよりも古いものです。オカルトも答えてきましたし、科学も答えてきました。しかも科学の答えのほうが、オカルトより容赦のないこともあります。今回は、その両方の答えを並べて眺めてみたいと思います。先へ進むと、話はとても小さなことに戻ってきます。シャッフルです。
この文章の十の章には、運命の輪のカードに描かれた九つのモチーフが隠れています。見つけたら、上のカードをもう一度眺めてみてください。
相前後して生まれた二千人あまり
モチーフ I：輪——大きな円がひとつ、八本のスポークとともに、カードの真ん中に描かれている。ほかのものはみな、そのまわりにある。もし一枚のチャートが本当に人を決めるのなら、確かめる方法があります。生まれた時刻がすぐ隣りあっている人たちを集めて、その人生が似ているかどうかを見ればいいのです。
実際にやった人たちがいます。Geoffrey Dean と Ivan Kelly が2003年に発表した分析で、使われたのは、もともと占星術とはなんの関係もない長期の記録でした。1958年3月3日から9日にかけてロンドンで生まれた2,101人。隣りあう二人の出生時刻の差は、平均でわずか4.8分です。この子どもたちは11歳、16歳、23歳のときに測定を受けていて、二人はそのなかから、知能、性格、職業、結婚など110の項目を選びました1。
結論はあっさりしたものでした。生まれた時刻がすぐ隣りあっていた二人は、だからといって、より似ているわけではなかったのです。
この研究が打ち消せるのは、「決まっている」のうちの一種類だけです。チャートに描かれているという意味での「決まっている」。人生が自由だと言っているわけではありません。本当に手ごわい「決まっている」は、星からは来ません。科学そのものから来るのです。
悪魔と怠け者
モチーフ II：スフィンクス——スフィンクスが輪のいちばん上に身を伏せ、前足の下に剣を一本横たえている。輪はその下にあり、スフィンクスは動かない。1814年、フランスの数学者ラプラスは、確率を論じた小さな本のなかで、ひとつの知性を思い描きました。いまこの瞬間に宇宙のすべての粒子がどこにあり、どんな力を受けているのかを知っていて、しかもそれを計算しきれる知性です。その知性にとって、不確かなものは何もありません。未来も過去と同じように、目の前に広がっています。
後の人々は、この知性をラプラスの悪魔と呼びました。
これが決定論です。この考えに従えば、あなたが生まれた瞬間に、いえ、宇宙が始まった瞬間に、そのあとのすべてはもう書かれていたことになります。
けれど、決定論と宿命論は同じものではありません。
古代に、よく知られた議論がありました。「怠け者の議論」と呼ばれるもので、キケロが『運命について』に書きとめています。こういう議論です。もしあなたの病気が治ると定まっているなら、医者を呼んでも呼ばなくても治る。治らないと定まっているなら、医者を呼んでも呼ばなくても治らない。だとしたら、なぜ医者を呼ぶのか。
ストア派のクリュシッポスは、こう答えました。医者を呼ぶことと病気が治ることは、結びついている。病気が治ると定まっているなら、医者を呼ぶことも同じように定まっている。あなたのすることは、それ自体がこの因果の鎖の一環なのだ、と。
違いは、あなた自身がそこに数えられているかどうかです。
「生まれたときに決まっている」という言葉で気持ちがくじけるのは、じつは前者のほうです。何をしようと、結末はそこで待っている。後者はたとえ本当だとしても、結末へ続く道は、あなたの中を通っていきます。
この二つにも、共通点がひとつあります。どちらも、未来に道を一本しか残さないことです。百年あまり前、数学の世界に第三のモデルが現れました。その生まれたいきさつは、モデルそのものより面白いくらいです。
自由意志をめぐる言い争い
モチーフ III：本——翼のある四つの生きものが、それぞれ開いた本を一冊ずつ前にしている。左上の天使はうつむいて、読んでいる。二十世紀のはじめ、ロシアで二人の数学者が言い争いになりました。
ひとりはモスクワのパーヴェル・ネクラーソフ。神学校で学んだ人で、立場としては教会と皇帝の側にいました。当時の統計学者たちはすでに、ある社会の一年ごとの結婚の数や犯罪の数が驚くほど安定していることに気づいていました。ネクラーソフは1902年に、これにひとつの説明を与えます。少なくともマルコフの読むところでは、その言い分はこうです。平均が安定するのは、ひとつひとつの出来事がたがいに独立しているからだ。人の行動がこれほど安定した平均にまとまる以上、人は独立に選択をしているのだ。言いかえれば、彼は統計の規則性から、自由意志の数学的な証明を取り出そうとしたのです。
もうひとりはサンクトペテルブルクのアンドレイ・マルコフ。気性の荒さで知られ、信仰も持っていませんでした2。彼は、この推論は数学として間違っていると考えました。1906年に論文を書き、たがいに独立でない出来事にも、やはり安定した平均がありうることを証明します。そのために、新しい数学の対象を作りました。ひとつひとつが直前のものに依存している、出来事の連なりです。
これが、のちのマルコフ連鎖です。
いまあらゆるところで使われているこの数学の道具は、自由意志をめぐる言い争いのなかで生まれました。
はっきりさせておくと、マルコフは自由意志が存在しないことを証明したわけではありません。ネクラーソフのその道筋が通らないことを証明しただけです。
1913年1月、彼はもうひとつ、とても根気のいることをしました。プーシキンの『エヴゲーニイ・オネーギン』の冒頭からロシア語の文字を二万字書き写し、句読点と空白を取りのぞいて、十かける十のマス目二百個に並べ、手で数えたのです。
二万字のうち、母音は8,638字で、43.2%を占めていました。もし文字どうしがたがいに無関係なら、前の文字が何であれ、次が母音である割合はほぼ43.2%になるはずです。ところが数えてみると、前が母音のとき、次も母音である割合はわずか12.8%。前が子音のときは66.3%でした。
明日は今日だけを見ている
モチーフ IV：蛇——一匹の蛇が天使の雲の下から身をくねらせて降りてくる。頭を下にして、輪の左側に沿って下っていく。マルコフ連鎖の規則は、一言で言えます。次にどこへ行くかは、いまどのマスにいるかだけで決まり、どうやってそのマスに来たかは関係ない。
それに、この規則は次に必ずどこへ行くとは言いません。渡されるのは一枚の表だけです。このマスから出発して、あのマスへ行く確率はどれくらいか。
三つの考え方を並べてみましょう。
- ラプラス：未来への道は一本だけ。ただ、私たちには計算できない。
- 怠け者の議論：未来への道は一本だけ。しかも、あなたとは関係がない。
- マルコフ連鎖というモデル：未来への道はたくさんあり、それぞれに確率がある。その確率は、あなたがいまどこに立っているかだけで決まる。
マルコフ本人に、これで人生を語るつもりはありませんでした。これは私たちが借りてきた問い方です。
「いまだけを見る」という言葉は「過去はどうでもいい」と聞こえやすいのですが、実際は正反対です。あなたがこのマスに来られたのは、過去の一歩一歩があったからです。過去は消えていません。そのすべてが、今日というこのマスに積み重なっています。ただ、今日を飛びこえて、じかに明日へ手を伸ばすことができないだけです。
もちろん、人はこんなに単純な連鎖ではありません。本物の文章もそうで、ひとつの文字の影響は一マスでは終わりません。これはあくまでモデルです。けれど、よいモデルの役目は、はっきり言葉にできない問いを、答えられる問いに変えることです。
「人は生まれたときに決まっているのか」は、ここまで来ると別の形でたずねることができます。十分に長く歩いたあと、この連鎖は自分の出発点を覚えているのだろうか。
八回
モチーフ V：文字——輪の縁に T、A、R、O の四文字がある。T から読めば TARO、R から読めば ROTA、ラテン語で「車輪」。カードを読む人なら誰でも、自分の手で歩いたことのある連鎖があります。シャッフルです。
一組のカードのいまの順番が、いま立っているマスです。一度切ると、次のマスへ移ります。どこへ移るかは、いまの順番とこの一回の切り方だけで決まり、その前の順番とは関係ありません。封を切ったばかりのカードの出発点は、工場出荷時の順番です。よく混ざったというのは、この連鎖がその出発点を忘れたということです。
では、何回切ればいいのでしょうか。
1992年、Dave Bayer と Persi Diaconis が、正確に計算できる答えを出しました。二人が調べたのはリフルシャッフル、カードを二つに分け、両側をファスナーのように交互に落としていく切り方です。52枚のトランプについての結論は、有名な数字になりました。七回です。
この結果でいちばん変わっているのは、少しずつよくなっていくのではないところです。二人が使った物差しで測ると、はじめの四回を終えても、カードは本当のランダムからほとんど同じだけ離れています。そのあと、ほんの数回のうちに、距離が一気に落ちこみます。
この式は、カードが52枚でなければならないとは言っていません。そこで、タロットの78枚で計算してみました。
五回切っても、距離はまだ0.9996で、この物差しでは切っていないのとほとんど変わりません。八回目で0.31まで下がります。つまり、カードが二十六枚増えても、必要なのはあと一回だけです。
ただ、タロットカードは長くて大きいので、リフルシャッフルをせず、少しずつ束にして切るオーバーハンドシャッフルで済ませる人も多いのです。この切り方はずっと遅く、必要な回数はおおよそカードの枚数の二乗に比例し、さらに対数がかかることが数学的に証明されています。52枚のカードについては、出回っている見積もりが二千回あまりから一万回を超えるものまであり、正確な数字を計算しきった人はいません3。
つまり、こんなふうに何度か無造作に切っただけなら、前回読んだときの順番の多くが、まだカードの中に残っています。
カードは、まだ覚えています。
このサイトのカードは、どう切られているのか
モチーフ VI：記号——四本のスポークに小さな記号が四つある。ふつうは水銀、硫黄、水、塩と見なされていて、何かの調合表のように読める。ここまで書いたからには、このサイト自身がどうカードを配っているのかも明かしておくべきでしょう。やり方はひとつではありません。
ログインしたあとのふつうのカードの引き方では、Fisher–Yates というアルゴリズムを使っています。最後のカードから順に、一枚ごとに、それより前のどれか一枚（自分自身でもかまいません）と一度だけ入れかえます。七回も八回も切る必要はありません。一巡すれば、乱数が本当にランダムである限り、78枚のどの並びも同じ確率になります。出発点は、最初の一巡で完全に忘れられます。
問題は、その「限り」にあります。
このコードが使う乱数は、ブラウザの Math.random から来ています。これは疑似乱数で、決まった式が、一見でたらめな数字を一歩ずつ計算していくものです。Chrome を例にとると、内部の状態は128ビットしかありません。ここから二つのことが言えます。
ひとつめ。ある状態から始まれば、そのあとの数字はすべて決まっています。もしラプラスの悪魔があなたのブラウザに住んでいたら、その悪魔はカードの順番をすべて知っています。
ふたつめ。128ビットの状態は多くても約3.4 × 10³⁸通りですが、78枚のカードの順番は約1.1 × 10¹¹⁵通りあります。ですから、ここで出てくる順番は、ありうるすべての順番のうち、言葉にならないほど小さな一部でしかありません。（一度に引く十数枚の組み合わせの数はこれほど大きくないので、この上限にぶつかることはありません。）
ただし、カードを選んで押すのはあなた自身です。カードは裏向きに広げられていて、順番はアルゴリズムが決めていますが、あなたの指がどの一枚に触れるのかを、アルゴリズムは前もって知りません。「手順を省いて、すぐ読み解く」を押した場合は、この指の役目もアルゴリズムが代わりに担います。
はじめて訪れて、まだ登録していないときの一回は違います。カードはサーバーが前もって引いておきます。使うのは暗号学的な強度をもつ乱数です。あなたの指がどの一枚に触れても、その一枚が引いてあったカードと入れかわります。ここで指が決めているのは、どの一枚かではなく、いつかです。
デイリーカードは、そもそもシャッフルをしません。あなたのアカウント（ログインしていないときは、ブラウザの中の匿名の番号）とその日の日付をハッシュ関数に入れて数をひとつ計算し、それを一枚のカードに対応させます。同じ人なら、同じ日に何度開いても同じカードです。この一枚は、その日が始まったときに決まっています。
こんなことを書いたのは、何かがこのカードを選んでいるとは思ってほしくないからです。カードがあなたの前に来るのは、ひとつのアルゴリズムと、ときどきそこに加わる一本の指によるものです。誰かが仕組んだわけではありません。
それでもなぜ読む価値があると思うのかは、あとで書きます。
出発点がものを言うとき
モチーフ VII：ジャッカルの頭の人影——ジャッカルの頭をした人影が輪の右側に張りつき、両手で輪の縁につかまっている。シャッフルという連鎖は、最後にはすべてを忘れます。けれど、どの連鎖もそうだとは限りません。
下の図は、私が計算した三つの連鎖です。どれもマスは八つ。縦の一列が一歩で、マスが明るいほど、そこにたどり着いた人が多いことを表します。
一つめは、道が一本しかない決定論で、いちばん宿命のように聞こえます。ところが、これは驚くほどもろいのです。一歩ごとにほんの少しの偶然を入れるだけで、忘れはじめます。
「生まれ」について本当に心配すべきなのは、三つめのほうです。ここに天命のようなものはありません。ただ、入ったら出られないマスがあり、どちらのマスに近いかは、どこから出発したかで決まる。それだけのことです。
これはたとえ話だけではありません。経済学者は1955年の Prais の論文以来、こうした推移の表を使って、ある世代から次の世代への移動を調べてきました。
2014年、Raj Chetty らは、1980–82年生まれのアメリカの子ども一千万人近くの税務記録から、下の表を算出しました。収入は人数で五等分してあります。親の収入が子どもにまったく影響しないなら、どのマスも20%になるはずです。
これは20%から遠く離れています。ですから、人は生まれたときに決まっているのかと聞かれたら、正直な答えはこうです。決まってはいない、けれど、みな同じだとは決して言えない。この違いはホロスコープの上にはありません。納税記録の上にあります。
けれど、この表はほかに二つのことも教えてくれます。
ひとつめ。これは自然界の定数ではありません。同じく最も低い層から最も高い層へ移る割合は、この論文が算出または引用している数字で、デンマークが11.7%、カナダが13.4%、アメリカのシャーロットが4.4%、サンノゼが12.9%です（数え方は必ずしも同じではありません）。何がこの差を生んでいるのかを、論文ははっきりさせていません。それでも、場所によって変わる表は、天に刻まれたものではありません。
ふたつめ。これは集団の話で、あなたの話ではありません。7.5%は、どの子どもに対する判決でもありません。
この表を一世代ずつ計算していくと、最も貧しい家と最も豊かな家の子孫は、三世代後には、先ほどの物差しで、距離が4%ほどしか残りません。聞こえのいい結果ですが、私はあまり信じる気になれません。この表がいつまでも変わらないこと、そして各世代が直前の世代からしか影響を受けないことを前提にしているからです。Gregory Clark は名字を手がかりに数百年にわたる社会的地位を追跡し、これよりずっと遅い移動を見いだしました。もっとも、彼の結論そのものにも議論があります。本物の人間は、一マスしか見ない連鎖よりも、多くを覚えています。
回りつづける輪
モチーフ VIII：輪の中心——八本のスポークが一点に集まる。輪が回るとき、この一点だけはほとんど動かない。さて、このカードに戻りましょう。
運命の輪はよく、「運は回りもの」と読まれます。上がったものは下がり、下がったものは上がる、と。けれど、もしこれが本当に厳密に回る輪だとしたら、先ほどの図の一つめの連鎖です。いつどのマスにいるかは、最初の一歩から書かれている。あの、道が一本しかない決定論です。
幸い、この世にそこまで寸分の狂いもない輪はありません。いつもどこかにゆるみがあります。少し立ちどまる人がいて、一マス戻る人がいる。ゆるみのひとつひとつが、出発点を少しずつ薄くしていきます。
ウェイトが自分の1909年のデッキのために書いた解説に、私の好きな一節があります。このカードは「流動する宇宙の永遠の運動と、人の生の移ろい」を表すと言い、続けてこう書いています。「スフィンクスは、そのなかの均衡である」。
彼がこれを書いたのは1910年前後です。そのころマルコフはすでに連鎖を作っていて、数年後には文字を数えはじめます。この二つのことに、なんの関係もありません。それでも、いまこの一節を読むと、マルコフ連鎖のある概念を思い出します。定常分布です。忘れることのできる連鎖が十分に長く歩いたあとでは、ひとりひとりは動きつづけているのに、全体の割合はもう変わりません。輪は回りつづけていて、それでいて、動かないものがあります。
もちろんこれは私の連想で、ウェイトの意図ではありません。
この一枚：運命の輪
モチーフ IX：牛と獅子——下の牛と獅子は、それぞれ雲の上に伏せ、体の前に開いた本を広げている。ここまで読んできたものは、みなこの一枚に描かれている
この文章に一枚のカードを添えるなら、運命の輪しかありません。大アルカナでの番号は十。
このカードに描かれたものは、ほとんどがこの文章の中に見つかります。あの輪は、ひとつの連鎖の状態図です。蛇は下へ、ジャッカルの頭の人影は上へ向かいますが、どちらもこのマスから次のマスへ移っているだけです。輪の縁の文字は、読みはじめる場所を変えると別の言葉になります。カードの順番と同じです。スフィンクスはその上に身を伏せ、すべてが回るのを見ながら、自分は動きません。あのすべてを知る知性のようでもあり、もう変わらないあの割合のようでもあります。四つの生きものは、それぞれ開いた本を前にしています。
このカードを運と読む人もいれば、定めと読む人もいます。私はむしろ、一枚の地図として読みたいと思います。次のマスがどこかを、この地図は言いません。読むときには、自分がいまどのマスに立っているのかを考えてみることができます。
このカードのほかの意味も見てみたいときは、運命の輪のページを開いてみてください。
オカルトか、科学か
では、これはオカルトでしょうか、科学でしょうか。
私の答えはこうです。シャッフルは科学で、カードを読むのはオカルトです。
ここをあいまいにするつもりはありません。いまのところ、一枚のカードや一枚のチャートが未来に何が起こるかを教えてくれるという信頼できる証拠はありません。Lunarcana は読んで考えるための手稿で、用途は娯楽と自省です。運命を告げるためのものではありません。
それなら、なぜカードを引くのでしょう。
ランダムには、あまり語られない美点があるからだと思います。あなたに媚びないことです。自分で選べば、どうしてもすでに考えたことばかり選んでしまう。ランダムに目の前に来た一枚は、用意していなかった角度から、いまの自分の状況を見ることを迫ってきます。それが「当たった」かどうかは、どうでもいいのです。大事なのは、それを読んでいるあいだに、あなたが何を思い出したかです。
人は生まれたときに決まっているのか、という問いについて。ホロスコープの上の「決まっている」には、私は証拠を見つけられませんでした。納税記録の上の「違い」は本物で、しかもどこでも同じではありません。そしていちばん手ごわい決定論は、たとえ本当だとしても、その道はやはりあなたの中を通っていきます。
過去は消えません。今日を通してだけ、働きつづけるのです。
シャッフルは科学、読むのはオカルト。そのあいだにいるのは、あなたです。
次にカードを切るときは、少し多めに切って、前回のことを忘れさせてあげてもいいかもしれません。
あなたは一組のカードではありません。八回切ってやりなおす、というわけにはいきません。けれど、ただの一組のカードでもありません。次の一歩の前に、自分がいまどのマスに立っているのかを、まず一度見ることは、いつでもできます。
文中の版画風の挿絵は AI の補助で描いたもので、歴史的な図版ではありません。データの図は、文中の式と公開データをもとに計算、整理したものです。