Combien de mélanges pour qu’un jeu oublie son passé
Du thème natal aux chaînes de Markov : tout est-il joué à la naissance ?
Beaucoup de gens, leur thème natal en main, demandent : tout est-il joué à la naissance ? J’aimerais d’abord poser une question plus modeste : combien de fois faut-il mélanger un jeu pour qu’il oublie son ordre de départ ?
Dresser un thème natal a quelque chose d’envoûtant. On entre la date et l’heure de sa naissance, et le dessin apparaît : douze maisons, une ronde de planètes. En Chine, le même geste donne les « quatre piliers » : l’année, le mois, le jour et l’heure, soit huit caractères.
Devant ce dessin, beaucoup de gens ont la même pensée : il a été fixé à la minute de ma naissance. Alors tout ce qui a suivi l’était-il déjà, lui aussi ?
La question est plus vieille que n’importe quel thème. L’ésotérisme y a répondu, la science aussi, et la science, parfois, laisse encore moins de marge que l’ésotérisme. J’aimerais ici poser les deux réponses côte à côte. Le chemin finit par ramener à une toute petite chose : mélanger des cartes.
Dans les dix chapitres de ce texte se cachent neuf images tirées de la Roue de Fortune. Quand tu en rencontres une, reviens jeter un œil à la carte, plus haut.
Plus de deux mille personnes nées juste l’une après l’autre
Motif I : La roue — Un grand cercle à huit rayons, au milieu de la carte. Tout le reste s’ordonne autour de lui.Si un thème pouvait vraiment décider d’une vie, il y aurait un moyen de le vérifier : prendre des personnes nées juste l’une après l’autre, et regarder si leurs vies se ressemblent.
Quelqu’un l’a fait. En 2003, Geoffrey Dean et Ivan Kelly ont publié une analyse fondée sur un suivi au long cours qui n’avait, au départ, rien à voir avec l’astrologie : 2 101 personnes nées à Londres entre le 3 et le 9 mars 1958, avec en moyenne 4,8 minutes seulement entre deux naissances voisines. Ces enfants avaient été évalués à 11, 16 et 23 ans ; les auteurs ont retenu 110 de ces mesures, dont l’intelligence, le caractère, le métier et le mariage1.
La conclusion est nette : deux personnes nées à quelques minutes d’écart ne se ressemblent pas davantage pour autant.
Cette étude n’écarte qu’une seule forme de « destin » : celle que dessine le thème. Elle ne dit pas que la vie est libre. Et le destin le plus coriace ne vient pas des étoiles. Il vient de la science elle-même.
Le démon et le paresseux
Motif II : Le sphinx — Au sommet de la roue, le sphinx est couché, une épée en travers sous les griffes. Sous son corps, la roue ; et le sphinx, immobile.En 1814, dans un petit livre sur les probabilités, le mathématicien français Laplace imagine une intelligence qui connaîtrait, à cet instant, la position de chaque particule de l’univers et les forces qui s’exercent sur elle, et qui aurait de quoi tout calculer. Pour elle, rien ne serait incertain : l’avenir, tout comme le passé, serait là, sous ses yeux.
On a fini par appeler cette intelligence le démon de Laplace.
C’est le déterminisme. Selon lui, dès l’instant de ta naissance, et même dès le commencement de l’univers, tout ce qui suit est déjà écrit.
Mais déterminisme et fatalisme, ce n’est pas la même chose.
L’Antiquité connaissait un argument célèbre, l’« argument paresseux », que Cicéron rapporte dans son Traité du destin. Il dit ceci : s’il est écrit que tu guériras, tu guériras, que tu fasses venir le médecin ou non ; s’il est écrit que tu ne guériras pas, tu ne guériras pas, que tu le fasses venir ou non. Alors, à quoi bon le médecin ?
Le stoïcien Chrysippe répond : faire venir le médecin et guérir sont deux choses liées. S’il est écrit que tu guériras, il est tout aussi écrit que tu feras venir le médecin. Ce que tu fais est lui-même un maillon de la chaîne des causes.
Toute la différence : si tes actes comptent, ou non, dans l’histoire.
Dans la phrase « tout est joué à la naissance », ce qui décourage, c’est en réalité la première version : quoi que tu fasses, la fin t’attend là-bas. La seconde, même si elle est vraie, suppose que le chemin vers cette fin passe par toi.
Ces deux versions ont pourtant un point commun : elles ne laissent à l’avenir qu’un seul chemin. Il y a un peu plus d’un siècle, les mathématiques ont vu naître un troisième modèle. Et son origine est encore plus intéressante que le modèle lui-même.
Une dispute sur le libre arbitre
Motif III : Les livres — Quatre créatures ailées veillent chacune sur un livre ouvert. En haut à gauche, l’ange baisse la tête : il est en train de lire.Au début du XXe siècle, deux mathématiciens russes se disputent.
Le premier, à Moscou, s’appelle Pavel Nekrassov. Il a étudié au séminaire et se range du côté de l’Église et du tsar. Les statisticiens de l’époque ont remarqué depuis longtemps que, dans une société, le nombre annuel de mariages ou de crimes est d’une stabilité stupéfiante. En 1902, Nekrassov en propose une explication. Du moins telle que Markov la lit, son idée est la suivante : si les moyennes sont stables, c’est que les événements sont indépendants les uns des autres ; or les actes humains forment de telles moyennes stables ; donc chacun fait ses choix de façon indépendante. Autrement dit, il veut tirer des régularités statistiques une preuve mathématique du libre arbitre.
L’autre, à Saint-Pétersbourg, c’est Andreï Markov, connu pour son mauvais caractère, et incroyant2. Pour lui, ce raisonnement est faux, mathématiquement. En 1906, il écrit un article où il démontre que des événements qui ne sont pas indépendants peuvent, eux aussi, avoir une moyenne stable. Pour cela, il crée un nouvel objet mathématique : une suite d’événements dont chacun dépend du précédent.
C’est ce qu’on appelle aujourd’hui une chaîne de Markov.
Cet outil mathématique, qu’on utilise aujourd’hui partout, est né d’une dispute sur le libre arbitre.
Soyons clairs : Markov n’a pas démontré que le libre arbitre n’existe pas. Il a seulement démontré que le chemin de Nekrassov ne mène nulle part.
En janvier 1913, il se livre à un autre travail, d’une grande patience. Il recopie les vingt mille premières lettres d’Eugène Onéguine de Pouchkine, en russe, retire la ponctuation et les espaces, les dispose dans deux cents grilles de dix sur dix, et compte à la main.
Sur ces vingt mille lettres, 8 638 sont des voyelles, soit 43,2 %. Si les lettres n’avaient aucun lien entre elles, la lettre suivante aurait à peu près 43,2 % de chances d’être une voyelle, quelle que soit la précédente. Or voici ce qu’il compte : après une voyelle, la proportion de voyelles n’est que de 12,8 % ; après une consonne, elle est de 66,3 %.
Demain ne regarde qu’aujourd’hui
Motif IV : Le serpent — Un serpent descend en ondulant de sous le nuage de l’ange, tête en bas, le long du flanc gauche de la roue.La règle d’une chaîne de Markov tient en une phrase : le pas suivant dépend seulement de la case où l’on se trouve, pas du chemin qui y a mené.
Et elle ne dit pas où ira le pas suivant. Elle donne seulement une table : depuis cette case, telle chance d’aller à telle autre.
Mettons les trois versions côte à côte :
- Laplace : l’avenir n’a qu’un seul chemin, seulement tu ne peux pas le calculer.
- L’argument paresseux : l’avenir n’a qu’un seul chemin, et tu n’y es pour rien.
- Le modèle de la chaîne de Markov : l’avenir a de nombreux chemins, chacun avec sa probabilité, et ces probabilités dépendent uniquement de l’endroit où tu te trouves maintenant.
Markov lui-même n’a jamais eu l’intention de s’en servir pour parler de la vie. C’est nous qui lui empruntons cette manière de poser la question.
« Seul le présent compte » : on entend facilement là-dedans que « le passé n’a pas d’importance ». C’est exactement le contraire. Cette case, tu l’as atteinte par chacun de tes pas précédents. Le passé n’a pas disparu : il pèse tout entier sur la case d’aujourd’hui. Simplement, il ne peut pas contourner aujourd’hui pour aller toucher demain.
Bien sûr, une personne n’est pas une chaîne aussi simple. Un texte réel non plus : l’influence d’une lettre va au-delà d’une case. Ce n’est qu’un modèle. Mais un bon modèle a ceci d’utile qu’il change une question floue en une question à laquelle on peut répondre.
« Tout est-il joué à la naissance ? » peut maintenant se poser autrement : au bout d’un assez long chemin, la chaîne se souvient-elle encore de son point de départ ?
Huit fois
Motif V : Les lettres — Sur la jante, quatre lettres : T, A, R, O. En partant du T, on lit TARO ; en partant du R, ROTA, « la roue » en latin.Il y a une chaîne que quiconque lit les cartes a parcourue de ses propres mains : le mélange.
L’ordre actuel d’un jeu, c’est la case où il se trouve. Un mélange, et il passe à la case suivante ; laquelle, cela dépend seulement de l’ordre actuel et de la façon dont on mélange cette fois-ci, pas de l’ordre qu’il avait avant. Un jeu qu’on vient de déballer a pour point de départ son ordre de sortie d’usine. Et dire qu’il est bien mélangé, c’est dire que la chaîne a oublié ce point de départ.
Alors, combien de fois faut-il mélanger ?
En 1992, Dave Bayer et Persi Diaconis donnent une réponse qu’on peut calculer exactement. Ils étudient le mélange américain : on coupe le jeu en deux, et les deux moitiés retombent en s’entrecroisant, comme une fermeture éclair. Pour un jeu de 52 cartes, la conclusion est devenue un nombre célèbre : sept.
Le plus singulier dans ce résultat, c’est que l’amélioration n’a rien de progressif. Selon la mesure qu’ils utilisent, après les quatre premiers mélanges, le jeu est presque aussi loin du vrai hasard qu’au départ ; puis, en l’espace de quelques mélanges seulement, la distance s’effondre.
La formule n’impose pas que le jeu ait 52 cartes. Je l’ai donc appliquée aux 78 cartes du tarot.
Après cinq mélanges, la distance est encore de 0,9996 : selon cette mesure, c’est presque comme si on n’avait pas mélangé. Au huitième, elle tombe à 0,31. Vingt-six cartes de plus ne demandent donc qu’un mélange de plus.
Seulement, les cartes de tarot sont longues et grandes, et beaucoup de gens préfèrent les passer d’une main à l’autre, par petits paquets. Ce mélange-là, dit à la française, est bien plus lent : il est démontré que le nombre de passes nécessaire croît à peu près comme le carré du nombre de cartes, multiplié encore par un logarithme. Pour 52 cartes, les estimations qui circulent vont de deux mille et quelques à dix mille et plus ; personne n’a calculé le chiffre exact3.
Autrement dit, si tu te contentes de couper ainsi quelques fois, sans y penser, une grande partie de l’ordre de ta dernière lecture reste dans le jeu.
Ce jeu s’en souvient encore.
Comment ce site mélange ses cartes
Motif VI : Les signes — Sur quatre rayons, quatre petits signes, qu’on identifie généralement au mercure, au soufre, à l’eau et au sel. On dirait une recette.Puisque j’en suis là, autant expliquer comment ce site distribue ses cartes. Il n’a pas qu’une seule façon de faire.
Le tirage ordinaire, après connexion, utilise un algorithme appelé Fisher–Yates : on part de la dernière carte, et chaque carte est échangée une fois avec n’importe laquelle de celles qui la précèdent (ou avec elle-même). Pas besoin de mélanger sept ou huit fois : un seul passage suffit et, pourvu que les nombres aléatoires soient vraiment aléatoires, chacun des ordres possibles des 78 cartes a la même chance de sortir. Le point de départ est entièrement oublié dès le premier passage.
Tout le problème tient à ce « pourvu que ».
Les nombres aléatoires de ce code viennent de Math.random, dans le navigateur. C’est du pseudo-aléatoire : une formule déterminée calcule, pas à pas, des nombres qui ont l’air très désordonnés. Dans Chrome, par exemple, l’état interne ne fait que 128 bits. Cela a deux conséquences.
Premièrement, à partir d’un état donné, tous les nombres suivants sont déjà fixés. Si le démon de Laplace habitait ton navigateur, il connaîtrait tout l’ordre de ce jeu.
Deuxièmement, un état de 128 bits n’offre au plus qu’environ 3,4 × 10³⁸ possibilités, alors que 78 cartes peuvent se ranger d’environ 1,1 × 10¹¹⁵ façons. Les ordres que ce mélange peut produire ne sont donc qu’une part infime, à peine exprimable, de tous les ordres possibles. (La bonne dizaine de cartes que tu tires en une fois forme moins de combinaisons que cela : elle n’atteint pas cette limite.)
Mais les cartes, c’est toi qui les touches. Elles sont étalées face cachée, dans l’ordre fixé par l’algorithme, et l’endroit où ton doigt se pose, l’algorithme ne le sait pas à l’avance. Si tu appuies sur « Passer les étapes, aller à la lecture », c’est l’algorithme qui remplace ce doigt.
La toute première fois, avant toute inscription, le tirage se passe autrement. Le serveur tire les cartes à l’avance, avec des nombres aléatoires de qualité cryptographique. Quelle que soit la carte que touche ton doigt, elle échange sa place avec la carte déjà tirée. Ici, le doigt décide du moment, pas de la carte.
La Carte du jour ne mélange rien du tout. Ton compte (sans connexion, un identifiant anonyme dans le navigateur) et la date du jour passent dans une fonction de hachage, qui donne un nombre, et ce nombre correspond à une carte. Même personne, même jour : tu peux l’ouvrir autant de fois que tu veux, c’est la même carte. Cette carte-là est fixée dès le début de la journée.
J’écris tout cela parce que je ne veux pas te laisser croire que quelque chose choisit cette carte. Elle arrive devant toi par un bout d’algorithme, parfois avec un doigt en plus. Personne n’a arrangé ça.
Je dirai plus loin pourquoi, à mon avis, elle mérite quand même d’être lue.
Quand le point de départ compte
Motif VII : La figure à tête de chacal — Une figure à tête de chacal épouse le flanc droit de la roue, les deux mains agrippées à la jante.La chaîne du mélange finit par tout oublier. Mais toutes les chaînes ne sont pas ainsi.
Voici trois chaînes que j’ai calculées, de huit cases chacune. Chaque colonne est un pas ; plus une case est claire, plus il y a de monde à cet endroit.
La première, c’est le déterminisme à chemin unique, celle qui ressemble le plus à une fatalité. Et pourtant, elle est étonnamment fragile : il suffit d’un tout petit peu de hasard à chaque pas pour qu’elle commence à oublier.
C’est la troisième qui devrait vraiment inquiéter quand on parle de naissance. Il n’y a là aucun destin écrit : simplement, certaines cases, une fois qu’on y entre, ne laissent plus sortir, et la case dont tu es le plus près dépend de ton point de départ.
Ce n’est pas qu’une image. Depuis l’article de Prais, en 1955, les économistes se servent de ce genre de table de transition pour étudier la mobilité d’une génération à l’autre.
En 2014, Raj Chetty et ses collègues ont établi la table ci-dessous à partir des déclarations fiscales de près de dix millions d’enfants américains nés en 1980–82. Les revenus y sont répartis en cinq tranches égales en nombre de personnes. Si le revenu des parents n’avait aucun effet sur celui des enfants, chaque case serait à 20 %.
On est loin des 20 %. Si tu me demandes si tout est joué à la naissance, la réponse honnête est donc : non, ce n’est pas joué, mais ce n’est pas égal non plus. Et cet écart ne se lit pas dans un thème natal. Il se lit sur une feuille d’impôts.
Mais cette table nous dit encore deux choses.
Premièrement, ce n’est pas une constante de la nature. Pour ce même passage de la tranche la plus basse à la plus haute, parmi les chiffres que l’article calcule ou cite, le Danemark est à 11,7 %, le Canada à 13,4 %, et, aux États-Unis, Charlotte à 4,4 % et San José à 12,9 % (les méthodes ne sont pas tout à fait les mêmes). L’article ne dit pas clairement d’où viennent ces écarts, mais une table qui change selon l’endroit n’est pas gravée dans le ciel.
Deuxièmement, elle parle de populations, pas de toi. 7,5 %, ce n’est un verdict pour aucun enfant.
Si l’on applique cette table génération après génération, les descendants de la famille la plus pauvre et ceux de la plus riche ne sont plus, au bout de trois générations et selon la mesure de tout à l’heure, qu’à environ 4 % de distance. C’est agréable à entendre, mais je n’ose pas trop y croire : ce calcul suppose que la table ne change jamais, et que chaque génération ne subit que l’influence de la précédente. Gregory Clark, qui suit le statut social à travers les noms de famille sur plusieurs siècles, trouve une mobilité bien plus lente, même si ses conclusions sont elles aussi discutées. Les êtres réels gardent plus de mémoire qu’une chaîne qui ne regarde qu’une case.
La roue qui n’arrête pas de tourner
Motif VIII : Le moyeu — Les huit rayons convergent vers un point. Quand la roue tourne, lui seul reste presque immobile.On peut maintenant revenir à cette carte.
La Roue de Fortune se lit souvent comme le proverbe : « la roue tourne ». Ce qui monte redescend, ce qui est en bas remonte. Mais si elle était vraiment une roue qui tourne sans le moindre jeu, ce serait la première chaîne du graphique de tout à l’heure : où l’on est à chaque instant serait écrit dès le premier pas. Ce serait le déterminisme à chemin unique.
Heureusement, il n’existe pas en ce monde de roue aussi parfaitement ajustée. Il y a toujours du jeu : quelqu’un s’arrête un moment, quelqu’un recule d’une case. Chaque petit jeu estompe un peu le point de départ.
Dans le texte que Waite a écrit pour son propre jeu de 1909, il y a une phrase que j’aime beaucoup. Il dit que cette carte représente « le mouvement perpétuel d’un univers fluide et le flux de la vie humaine », puis il ajoute : « Le Sphinx y est l’équilibre. »
Il écrit cela vers 1910. Markov a déjà créé sa chaîne, et il lui reste quelques années avant de se mettre à compter des lettres. Les deux faits n’ont aucun rapport. Mais en relisant cette phrase aujourd’hui, je pense à une notion des chaînes de Markov : la distribution stationnaire. Quand une chaîne qui oublie a marché assez longtemps, chaque individu continue de bouger sans cesse, mais les proportions d’ensemble ne changent plus. La roue n’arrête pas de tourner, et quelque chose reste immobile.
C’est mon association d’idées, bien sûr, pas l’intention de Waite.
Cette carte-ci : la Roue de Fortune
Motif IX : Le bœuf et le lion — En bas, le bœuf et le lion sont couchés chacun sur un nuage, un livre ouvert devant eux.Tout ce que tu viens de lire est sur cette carte
- La roueChapitre 1
- Le sphinxChapitre 2
- Les livresChapitre 3
- Le serpentChapitre 4
- Les lettresChapitre 5
- Les signesChapitre 6
- La figure à tête de chacalChapitre 7
- Le moyeuChapitre 8
- Le bœuf et le lionChapitre 9
S’il fallait associer une carte à ce texte, ce ne pourrait être que la Roue de Fortune. Parmi les arcanes majeurs, elle porte le numéro dix.
Presque tout ce qu’il y a sur cette carte se retrouve dans ce texte. La roue est le graphe des états d’une chaîne. Le serpent descend, la figure à tête de chacal monte ; l’un et l’autre ne font que passer d’une case à la suivante. Les lettres de la jante, lues à partir d’un autre point, font un autre mot, exactement comme l’ordre d’un jeu. Le sphinx, couché au sommet, regarde tout tourner sans bouger, comme cette intelligence qui sait tout, et comme ces proportions qui ne changent plus. Quatre créatures veillent chacune sur un livre ouvert.
On y lit tantôt la chance, tantôt le destin. J’aime mieux y voir une carte, au sens où l’entendent les géographes : elle ne dit pas quelle sera ta prochaine case. En la lisant, tu peux te demander sur laquelle tu te tiens en ce moment.
Si tu veux voir les autres significations de cette carte, ouvre la page de la Roue de Fortune.
Ésotérisme ou science
Alors, ésotérisme ou science ?
Ma réponse : mélanger les cartes, c’est de la science ; les lire, c’est de l’ésotérisme.
Là-dessus, je ne veux pas rester dans le flou. Il n’existe à ce jour aucune preuve fiable qu’une carte ou un thème puisse te dire ce qui arrivera dans l’avenir. Lunarcana est un manuscrit fait pour lire et pour réfléchir ; il sert au divertissement et à l’introspection, pas à te dire ton destin.
Alors pourquoi tirer des cartes ?
Je crois que le hasard a un avantage dont on parle peu : il ne cherche pas à te plaire. Si tu choisissais toi-même, tu choisirais toujours ce à quoi tu as déjà pensé. Une carte arrivée là par hasard t’oblige à regarder ta situation présente sous un angle que tu n’avais pas préparé. Qu’elle « tombe juste » ou non n’a pas d’importance. Ce qui compte, c’est ce qui te revient en la lisant.
Quant à savoir si tout est joué à la naissance : de ce qui serait joué dans un thème natal, je n’ai trouvé aucune preuve. L’inégalité de la feuille d’impôts, elle, est bien réelle, et elle n’est pas la même partout. Et le déterminisme le plus coriace, même s’il est vrai, laisse encore le chemin passer par toi.
Le passé ne disparaît pas. Il continue d’agir, mais seulement à travers aujourd’hui.
Mélanger, c’est de la science ; lire, c’est de l’ésotérisme ; entre les deux, il y a toi.
La prochaine fois que tu mélanges, tu pourrais insister un peu, pour que le jeu oublie la fois d’avant.
Toi, tu n’es pas un jeu de cartes : pas moyen de te mélanger huit fois pour tout reprendre à zéro. Mais tu n’es pas seulement un jeu de cartes. Avant le pas suivant, tu peux toujours regarder d’abord sur quelle case tu te tiens.
Les gravures de ce texte ont été dessinées avec l’aide de l’IA ; ce ne sont pas des images d’époque. Les graphiques sont calculés ou établis à partir des formules citées et de données publiques.