Quante mescolate servono a un mazzo per dimenticare il passato
Dal tema natale alle catene di Markov: quando si nasce, è già tutto deciso?
C’è chi tiene in mano un tema natale e chiede: dalla nascita è già tutto deciso? Io vorrei partire da una domanda più piccola: quante volte va mescolato un mazzo perché dimentichi l’ordine che aveva?
Calcolare un tema natale è una di quelle cose che prendono facilmente. Inserisci anno, mese, giorno e ora di nascita, e compare un disegno: dodici case, un cerchio di pianeti. In Cina ne esiste una versione diversa, i quattro pilastri: anno, mese, giorno e ora, scritti con otto caratteri.
Davanti a quel disegno, a tante persone viene lo stesso pensiero: questo schema si è fissato nel minuto della mia nascita. E allora tutto quello che è venuto dopo, non era già fissato anche quello?
La domanda è più vecchia di qualunque tema natale. Le ha risposto l’esoterismo, le ha risposto la scienza, e la risposta della scienza, a volte, lascia ancora meno scampo. In queste pagine vorrei mettere le due risposte una accanto all’altra. Strada facendo, il discorso torna a una cosa molto piccola: mescolare le carte.
Nei dieci capitoli di questo testo si nascondono nove immagini della Ruota della Fortuna. Quando le incontri, puoi tornare a guardare la carta qui sopra.
Più di duemila persone nate una dopo l’altra
Motivo I: La ruota — Un grande cerchio con otto raggi, disegnato al centro della carta. Tutto il resto gli sta intorno.Se un tema natale potesse davvero decidere di una persona, ci sarebbe un modo per verificarlo: prendere un gruppo di persone nate a ridosso l’una dell’altra e vedere se le loro vite si somigliano.
Qualcuno l’ha fatto davvero. Nel 2003 Geoffrey Dean e Ivan Kelly hanno pubblicato un’analisi basata su un registro di lunga durata che con l’astrologia non aveva niente a che fare: 2.101 persone nate a Londra dal 3 al 9 marzo 1958, con una distanza media di appena 4,8 minuti tra una nascita e la successiva. Quelle persone sono state valutate a 11, 16 e 23 anni, e i due autori hanno scelto 110 voci, tra cui intelligenza, carattere, professione e matrimonio.1
La conclusione è netta: due persone nate una subito dopo l’altra non si somigliano di più per questo.
Lo studio esclude soltanto un tipo di destino già scritto: quello disegnato sul tema natale. Non dice che la vita sia libera. Il «già scritto» davvero ostinato non viene dalle stelle. Viene dalla scienza stessa.
Il demone e l’argomento pigro
Motivo II: La sfinge — In cima alla ruota c’è la sfinge, con una spada di traverso sotto le zampe. La ruota le sta sotto, e la sfinge non si muove.Nel 1814, in un libretto sulla probabilità, il matematico francese Laplace immaginò un’intelligenza che conosce, in un dato istante, la posizione di ogni particella dell’universo e le forze che agiscono su di essa, e che riesce a fare tutti i calcoli. Per un’intelligenza così non c’è nulla di incerto: il futuro, come il passato, le sta davanti agli occhi.
I posteri l’hanno chiamata demone di Laplace.
Questo è il determinismo. Secondo questa idea, nell’istante della tua nascita, o addirittura nell’istante in cui è cominciato l’universo, tutto il seguito era già scritto.
Ma determinismo e fatalismo non sono la stessa cosa.
C’è un celebre argomento antico, detto «argomento pigro», di cui Cicerone dà conto nel De fato. Funziona così: se il tuo destino è guarire, guarisci comunque, con o senza medico; se il tuo destino è non guarire, non guarisci, con o senza medico. E allora perché chiamarlo?
Lo stoico Crisippo rispose che chiamare il medico e guarire sono legati insieme. Se è destino che tu guarisca, è destino anche che tu chiami il medico. Quello che fai è, di per sé, un anello di questa catena di cause.
La differenza sta tutta qui: se nel conto ci sei anche tu.
Nella frase «dalla nascita è già tutto deciso», quello che scoraggia è in realtà la prima idea: qualunque cosa tu faccia, la fine è lì che ti aspetta. Con la seconda, anche se fosse vera, la strada verso la fine passa comunque attraverso di te.
Le due idee hanno però una cosa in comune: lasciano al futuro una strada sola. Più di cento anni fa, in matematica comparve un terzo modello. E la sua origine è ancora più interessante del modello stesso.
Una lite sul libero arbitrio
Motivo III: I libri — Quattro creature alate custodiscono ciascuna un libro aperto. L’angelo in alto a sinistra tiene la testa china: sta leggendo.All’inizio del Novecento, in Russia, due matematici vennero ai ferri corti.
Uno era Pavel Nekrasov, a Mosca. Aveva studiato in seminario, e politicamente stava dalla parte della Chiesa e dello zar. Gli statistici di allora avevano già notato da tempo che i matrimoni e i reati di una società, anno dopo anno, restano stabili in modo sorprendente. Nel 1902 Nekrasov propose una spiegazione. Almeno per come la lesse Markov, il ragionamento era questo: le medie sono stabili perché i singoli eventi sono indipendenti fra loro; e se le azioni umane si sommano in medie così stabili, vuol dire che le persone scelgono in modo indipendente. In altre parole, voleva ricavare dalle regolarità statistiche una dimostrazione matematica del libero arbitrio.
L’altro era Andrej Markov, a San Pietroburgo, noto per il caratteraccio e non credente.2 Secondo lui quel ragionamento era sbagliato già sul piano matematico. Nel 1906 scrisse un articolo in cui dimostrava che anche eventi non indipendenti possono avere medie stabili. Per farlo inventò un nuovo oggetto matematico: una successione di eventi, ciascuno dei quali dipende dal precedente.
Nacque così quella che oggi chiamiamo catena di Markov.
Questo strumento matematico, oggi usato ovunque, è nato da una lite sul libero arbitrio.
Sia chiaro: Markov non ha dimostrato che il libero arbitrio non esiste. Ha dimostrato soltanto che la strada di Nekrasov non porta da nessuna parte.
Nel gennaio 1913 fece un’altra cosa, e ci volle molta pazienza. Copiò le prime ventimila lettere russe dell’Evgenij Onegin di Puškin, tolse punteggiatura e spazi, le dispose in duecento griglie da dieci per dieci, e poi contò a mano.
Su ventimila lettere le vocali sono 8.638, cioè il 43,2%. Se le lettere non avessero niente a che fare l’una con l’altra, qualunque fosse la lettera precedente, la probabilità che la successiva sia una vocale dovrebbe essere più o meno del 43,2%. E invece i suoi conti dicevano questo: dopo una vocale, la lettera seguente è una vocale solo nel 12,8% dei casi; dopo una consonante, nel 66,3%.
Il domani guarda solo all’oggi
Motivo IV: Il serpente — Un serpente scende da sotto la nuvola dell’angelo, a testa in giù, lungo il lato sinistro della ruota.La regola della catena di Markov sta in una frase: dove si va al passo successivo dipende solo dalla casella di adesso, non dalla strada fatta per arrivarci.
E non stabilisce nemmeno una destinazione certa: dà soltanto una tabella, che per ogni casella dice con quale probabilità si passa a un’altra.
Mettiamo le tre idee una accanto all’altra:
- Laplace: il futuro ha una strada sola, solo che non riesci a calcolarla.
- L’argomento pigro: il futuro ha una strada sola, e tu non c’entri.
- Il modello della catena di Markov: il futuro ha molte strade, ciascuna con la sua probabilità, e queste probabilità dipendono solo da dove ti trovi adesso.
Markov non aveva alcuna intenzione di usarla per parlare della vita: questo modo di porre la domanda lo prendiamo in prestito noi.
In «conta solo il presente» è facile sentire «il passato non conta», e invece è proprio il contrario. A questa casella ti ha portato ogni singolo passo del passato. Il passato non è sparito: è tutto lì, compresso nella casella di oggi. Solo che non può scavalcare l’oggi e allungare la mano direttamente sul domani.
Certo, una persona non è una catena così semplice. Nemmeno un testo vero lo è: l’influenza di una lettera va oltre la casella successiva. È soltanto un modello. Ma l’utilità di un buon modello è trasformare una domanda confusa in una domanda a cui si può rispondere.
«Dalla nascita è già tutto deciso?», a questo punto, si può chiedere in un altro modo: dopo aver camminato abbastanza a lungo, la catena si ricorda ancora del suo punto di partenza?
Otto volte
Motivo V: Le lettere — Sul cerchio ci sono quattro lettere: T, A, R, O. A partire dalla T si legge TARO; a partire dalla R, ROTA, che in latino vuol dire «ruota».C’è una catena che chiunque legga le carte ha percorso con le proprie mani: mescolarle.
L’ordine in cui si trova il mazzo in questo momento è la sua casella di adesso. Mescoli una volta, e passa alla casella successiva; quale sia dipende solo dall’ordine attuale e da come mescoli questa volta, non dall’ordine di due mescolate fa. Per un mazzo appena aperto, il punto di partenza è l’ordine di fabbrica. Dire che è ben mescolato significa dire che la catena ha dimenticato quel punto di partenza.
Quante volte bisogna mescolare, allora?
Nel 1992 Dave Bayer e Persi Diaconis hanno dato una risposta che si può calcolare con precisione. Hanno studiato la mescolata all’americana, quella in cui si divide il mazzo in due e le due metà si lasciano cadere intercalate, come i denti di una cerniera. Per le 52 carte di un mazzo da poker, la conclusione è diventata un numero famoso: sette.
La cosa più particolare di questo risultato è che il miglioramento non è graduale. Secondo il metro che usano, dopo le prime quattro mescolate il mazzo è ancora lontano dalla vera casualità quasi quanto all’inizio; poi, nel giro di pochissime mescolate, la distanza crolla all’improvviso.
La formula non impone che le carte siano 52, così l’ho usata per fare il conto sulle 78 dei tarocchi.
Dopo cinque mescolate, la distanza è ancora 0,9996: con questo metro, quasi come non aver mescolato. All’ottava scende a 0,31. Quindi ventisei carte in più chiedono una sola mescolata in più.
Le carte dei tarocchi, però, sono lunghe e grandi, e tante persone non le mescolano all’americana: le spostano un mazzetto alla volta. Questo modo di mescolare è molto più lento: è dimostrato che il numero di passaggi necessari cresce all’incirca con il quadrato del numero di carte, moltiplicato per un logaritmo. Per 52 carte, le stime che circolano vanno da più di duemila passaggi a oltre diecimila, e nessuno ha mai calcolato il numero esatto.3
In altre parole, se ti limiti a spostare qualche mazzetto alla svelta, buona parte dell’ordine dell’ultima lettura resta nel mazzo.
Il mazzo se ne ricorda ancora.
Come si mescolano le carte qui
Motivo VI: I segni — Su quattro raggi ci sono quattro piccoli segni, di solito identificati come mercurio, zolfo, acqua e sale: si leggono come una ricetta.A questo punto devo spiegare come distribuisce le carte questo stesso sito. Lo fa in più di un modo.
La normale estrazione dopo il login usa un algoritmo chiamato Fisher–Yates: partendo dall’ultima carta, ognuna viene scambiata una volta con una qualsiasi delle precedenti (o con se stessa). Non servono sette o otto mescolate: basta un passaggio e, purché i numeri casuali siano davvero casuali, ciascun ordine delle 78 carte ha la stessa probabilità. Il punto di partenza viene dimenticato del tutto già al primo passaggio.
Il problema sta proprio in quel «purché».
I numeri casuali di questo codice vengono da Math.random del browser, e sono pseudocasuali: una formula deterministica che, passo dopo passo, produce numeri dall’aspetto disordinato. In Chrome, per esempio, lo stato interno è di soli 128 bit. Questo ha due conseguenze.
La prima: a partire da un dato stato, tutti i numeri successivi sono già determinati. Se il demone di Laplace abitasse nel tuo browser, conoscerebbe l’intero ordine del mazzo.
La seconda: 128 bit di stato danno al massimo circa 3,4 × 10³⁸ possibilità, mentre gli ordini possibili di 78 carte sono circa 1,1 × 10¹¹⁵. Quindi gli ordini che si possono ottenere qui sono una parte del totale così piccola che non si sa nemmeno come dirla. (Quella decina abbondante di carte che peschi in una volta ha meno combinazioni di così, e non arriva a questo limite.)
Le carte, però, le tocchi tu. Stanno distese e coperte, l’ordine l’ha stabilito l’algoritmo, ma su quale carta cada il tuo dito l’algoritmo non lo sa in anticipo. Se invece premi «Salta i passaggi, vai alla lettura», anche quel dito lo sostituisce l’algoritmo.
L’estrazione della prima visita, prima della registrazione, funziona diversamente. Le carte le estrae in anticipo il server, con numeri casuali di livello crittografico. Qualunque carta tocchi il tuo dito, quella si scambia di posto con la carta già estratta. Qui il dito decide quando, non quale.
La Carta del giorno non mescola affatto. Mette il tuo account (senza login, un codice anonimo nel browser) e la data del giorno in una funzione di hash, ne ricava un numero, e a quel numero corrisponde una carta. Stessa persona, stesso giorno: la carta è la stessa, per quante volte tu la apra. Questa carta si è fissata all’inizio della giornata.
Scrivo tutto questo perché non voglio farti credere che ci sia qualcosa che sceglie questa carta. Ti arriva davanti grazie a un algoritmo e, a volte, a un dito. Nessuno l’ha predisposta.
Più avanti dirò perché, secondo me, vale comunque la pena leggerla.
Quando il punto di partenza conta
Motivo VII: La figura con la testa di sciacallo — Una figura con la testa di sciacallo, addossata al lato destro della ruota, si aggrappa al cerchio con entrambe le mani.La catena del mescolare, alla fine, dimentica tutto. Ma non tutte le catene sono così.
Qui sotto ci sono tre catene che ho calcolato, ciascuna di otto caselle. Ogni colonna è un passo, e più una casella è luminosa, più sono le persone arrivate lì.
La prima è il determinismo a una strada sola, quella che più somiglia a un destino già scritto. Eppure è sorprendentemente fragile: basta mettere in ogni passo un pizzico di caso, e comincia a dimenticare.
La terza è quella che dovrebbe davvero preoccupare chi teme il «già deciso dalla nascita». Qui non c’è nessun destino celeste: ci sono solo caselle in cui si entra e da cui non si esce, e quale ti resti più vicina dipende da dove hai cominciato.
Non è soltanto una metafora. Gli economisti, a partire dall’articolo di Prais del 1955, usano tabelle di transizione di questo tipo per studiare la mobilità da una generazione alla successiva.
Nel 2014 Raj Chetty e i suoi colleghi, dai dati fiscali di quasi dieci milioni di bambini statunitensi nati nel 1980–82, hanno ricavato la tabella qui sotto. I redditi sono divisi in cinque fasce con lo stesso numero di persone. Se il reddito dei genitori non avesse alcuna influenza sui figli, ogni casella dovrebbe valere il 20%.
Siamo molto lontani dal 20%. Quindi, se mi chiedi se dalla nascita è già tutto deciso, la risposta onesta è: non è tutto già deciso, ma non si parte nemmeno alla pari. E questa disparità non sta nel tema natale: sta nella dichiarazione dei redditi.
Ma questa tabella ci dice altre due cose.
La prima: non è una costante di natura. Per lo stesso passaggio dalla fascia più bassa a quella più alta, tra i dati calcolati o citati in questo articolo, la Danimarca ha l’11,7%, il Canada il 13,4%, Charlotte, negli Stati Uniti, il 4,4%, San Jose il 12,9% (i criteri di misura non coincidono del tutto). L’articolo non chiarisce che cosa provochi queste differenze, ma una tabella che cambia da un posto all’altro non è scolpita nel cielo.
La seconda: parla di popolazioni, non di te. Il 7,5% non è una sentenza per nessun bambino in particolare.
Se si applica questa tabella generazione dopo generazione, i discendenti della famiglia più povera e di quella più ricca, dopo tre generazioni, secondo il metro di prima, sono a una distanza di appena il 4% circa. Il risultato suona bene, ma non oso crederci troppo: presuppone che la tabella non cambi mai e che ogni generazione sia influenzata solo dalla precedente. Gregory Clark, seguendo i cognomi per secoli per tracciare la posizione sociale, ha trovato una mobilità molto più lenta, anche se le sue conclusioni sono a loro volta discusse. Le persone vere ricordano più di una catena che guarda una sola casella.
La ruota che non smette di girare
Motivo VIII: Il mozzo — Gli otto raggi confluiscono in un punto. Quando la ruota gira, è l’unico punto che quasi non si muove.Adesso si può tornare alla carta.
La Ruota della Fortuna viene letta spesso come «la ruota gira»: chi sta in alto scende, chi sta in basso risale. Ma se fosse davvero una ruota che gira in modo rigido, sarebbe la prima catena del grafico di prima: la casella in cui ci si trova a ogni momento è scritta fin dal primo passo. Cioè il determinismo a una strada sola.
Per fortuna, nel mondo non esistono ruote così perfettamente registrate. C’è sempre un po’ di gioco: qualcuno si ferma un momento, qualcuno arretra di una casella. Ogni po’ di gioco sbiadisce un po’ il punto di partenza.
Nel testo che Waite scrisse per il suo mazzo del 1909 c’è una frase che mi piace molto. Dice che questa carta sta per «il moto perpetuo di un universo fluido e il flusso della vita umana», e poi aggiunge: «La Sfinge è l’equilibrio che vi sta dentro.»
Scrisse questa frase intorno al 1910. A quel punto Markov aveva già inventato la sua catena, e di lì a pochi anni si sarebbe messo a contare le lettere. Le due cose non hanno alcun legame. Ma rileggendo oggi quella frase mi viene in mente un concetto delle catene di Markov: la distribuzione stazionaria. Quando una catena capace di dimenticare ha camminato abbastanza a lungo, ogni singolo individuo continua a muoversi, ma le proporzioni complessive non cambiano più. La ruota continua a girare, e qualcosa non si muove.
Questa, s’intende, è una mia associazione, non l’intenzione di Waite.
Questa carta: la Ruota della Fortuna
Motivo IX: Il toro e il leone — In basso, il toro e il leone stanno accovacciati sulle nuvole, ciascuno con un libro aperto davanti.Tutto quello che hai letto è in questa carta
- La ruotaCapitolo 1
- La sfingeCapitolo 2
- I libriCapitolo 3
- Il serpenteCapitolo 4
- Le lettereCapitolo 5
- I segniCapitolo 6
- La figura con la testa di sciacalloCapitolo 7
- Il mozzoCapitolo 8
- Il toro e il leoneCapitolo 9
Se dovessi abbinare una carta a questo testo, non potrebbe che essere la Ruota della Fortuna. Negli Arcani Maggiori porta il numero dieci.
Quasi tutto ciò che c’è su questa carta si ritrova in queste pagine. La ruota è il diagramma degli stati di una catena. Il serpente scende, la figura con la testa di sciacallo sale, e nessuno dei due fa altro che passare da una casella alla successiva. Le lettere sul cerchio, lette da un altro punto, diventano un’altra parola, proprio come l’ordine di un mazzo. La sfinge sta in alto, guarda girare tutto e non si muove: come quell’intelligenza che sa ogni cosa, e come quelle proporzioni che non cambiano più. Le quattro creature custodiscono ciascuna il proprio libro aperto.
C’è chi legge questa carta come fortuna e chi come destino. Io preferisco leggerla come una mappa: non dice quale sarà la tua prossima casella. Mentre la leggi, puoi chiederti in quale ti trovi adesso.
Se vuoi vedere gli altri significati di questa carta, puoi aprire la pagina della Ruota della Fortuna.
Esoterismo o scienza
Allora, è esoterismo o è scienza?
La mia risposta: mescolare le carte è scienza, leggerle è esoterismo.
Su questo non voglio essere vago. Al momento non esiste alcuna prova affidabile che una carta o un tema natale possano dirti che cosa succederà in futuro. Lunarcana è un manoscritto da leggere e su cui riflettere: serve all’intrattenimento e alla riflessione su di sé, non a rivelarti il destino.
E allora perché pescare carte?
Credo sia perché il caso ha un pregio di cui si parla poco: non ti lusinga. Se scegli tu, finisci sempre su cose a cui hai già pensato. Una carta che ti arriva davanti per caso ti costringe a guardare la tua situazione di adesso da un’angolazione che non avevi preparato. Che «ci abbia preso» o no, non ha importanza. Quello che importa è che cosa ti viene in mente mentre la leggi.
Quanto alla domanda se dalla nascita sia già tutto deciso: del «già deciso» dei temi natali non ho trovato prove. La disparità delle dichiarazioni dei redditi è reale, e non è uguale dappertutto. E anche se il determinismo più ostinato fosse vero, quella strada passerebbe comunque attraverso di te.
Il passato non sparisce. Può solo continuare ad agire attraverso l’oggi.
Mescolare le carte è scienza, leggerle è esoterismo; in mezzo ci sei tu.
La prossima volta che mescoli, magari insisti ancora un po’, perché il mazzo dimentichi l’ultima volta.
Tu non sei un mazzo di carte: non puoi mescolarti otto volte e ricominciare da capo. Ma non sei nemmeno soltanto un mazzo. Prima del prossimo passo, puoi sempre dare un’occhiata alla casella in cui ti trovi adesso.
Le illustrazioni a incisione di questo testo sono state realizzate con l’aiuto dell’intelligenza artificiale e non sono immagini storiche. I grafici sono stati calcolati o ricavati dalle formule citate nel testo e da dati pubblici.